Risposte alle domande di quantistica 1 Konishi

Come promesso cerco di riportare il più chiaramente possibile le risposte alle domande. Chiunque sappia qualcosa in più o sappia dirlo meglio, per favore, mi corregga!!!

Risposte:

  1. Raggio di Bohr: (h/2∏)²/me²=0.5 A
  2. λ≈300 nanometri.
  3. Un atomo eccitato è in grado di emettere radiazione di lunghezza d’onda data dalla relazione:En-Em=hν. Se svolgiamo il calcolo nel caso dell’atomo di idrogeno, sapendo che i livelli energetici per tale modello sono En= -e²/2n²R(Bohr), possiamo ricavare ν in funzione del raggio di Bohr e verificarne le dimensioni.
  4. Per la doppia buca di potenziale possiamo ragionare nel modo seguente: se supponessimo che la barriera centrale fosse molto alta, le due buche potrebbero essere considerate come due buche affiancate infìnitamente alte, e avremmo spettro due spettri discreti,dunque degeneri, uno per ciascuna buca; ciò è in contrasto però con il teorema di non degenerazione della funzione hamiltoniana, che ci garantisce che H in un problema unidimensionale definito su [-∞,+∞] lo spettro discreto di H è non degenere. Dunque dobbiamo ammettere che esiste una probabilità di effetto tunnel attraverso la barriera centrale, e le funzioni d’onda del sistema potranno essere scritte come una combinazione lineare delle soluzioni per la buca di destra e quella di sinistra. Poichè H commuta con la parità, le soluzioni sono a parità definita, e in particolare lo stato fondamentale è pari, mentre il primo eccitato è dispari. Avremo allora: Ψº=√½[Ψdestra(0)(x)+Ψsinistra(0)(x)] simmetrica, mentre per la funzione antisimmetrica del primo livello eccitato Ψ¹= √½[Ψdestra(0)(x)-Ψsinistra(0)(x)]. I livelli energetici saranno dati da E°+ε ed E°-ε, perchè il sistema può essere rappresentato dalla matrice H due per due con sulla diagonale i livelli E° e fuori diagonale l’ampiezza di probabilità di avere effetto tunnel ε. Diagonalizzando H si ottengono i nuovi livelli.
  5. La costante di struttura fine è e²/(h/2∏)c =1⁄137.
  6. La Hamiltoniana di un atomo in campo elettromagnetico è data da: H= 1/2m[p-(e/c)·A]²+eΦ+V.
  7. La funzione di distribuzione di Planck è data da:u(ν)dν= (8∏/c³)hν³·[1/(exp(hv/KT)-1)]dv. Nel caso di hv/KT>>1 (che corrisponde ad alta frequenza a T fissata, o bassa temperatura a frequenza fissata) si ottiene la formula di Rayleigh Jeans, mentre nel caso opposto la formula di Wien.
  8. Sperimentalmente si verifica che a T alte vale E(T)=σT³T.
  9. Prossimamente inserisco il disegno…
  10. Lo spin totale di un sistema con 4 spin 1/2 si calcola sommando gli spin due a due: si può procedere calcolando lo spin risultante dei primi due, poi il risultante dei primi due col terzo e infine il risultante di questi con l’ultimo oppure si può procedere calcolando lo spin risultante di a e b e separatamente di c e d; sappiamo che per due spin 1/2 lo spin totale è s²=0,1. Quindi sia il risultante di a+b che di c+d è uno spin che può assumere valori 0 oppure 1. Resta solo da calcolare la somma di questi due spin. Poichè, chiamati questi s1 e s2 , deve valere per lo spin totale S: |s1-s2|<S<s1+s2, calcolando le varie combinazioni per i valori di s1 ed s2, si osserva che i valori possibili per S sono 0,1,2.
  11. Lo spin Sz totale è ½+½+½+½=2 sul ket |↑↑↑↑> e -½-½-½-½=-2 sul ket |↓↓↓↓> dunque lo stato complessivo non è autostato di Sz. Siccome però Sz è massimo perchè tutti gli spin sono up o down, sappiamo che j=m max, dunque possiamo ricavare l’autostato di Stot sul nostro stato. Dunque, siccome m max=2, avremo j=2, e l’autovalore per S² è j(j+1)=6. Dunque lo stato è autostato dello spin totale.
  12. La risposta a questa domanda è aperta nel senso che si tratta di ragionare con lui e non è unica quindi ve la riporto cosicchè possiate pensarci…
  13. La condizione di quantizzazione di Bohr-Sommerfeld è, poste p e q variabili canoniche, ∫pdq=nh, dove n=0,1,2… e l’integrale è fatto su un ciclo della variabile canonica q. La condizione dà il risultato corretto per l’atomo di idrogeno, mentre nel caso dell’oscillatore armonico dà En=hvn invece che En=hv(n+½).
  14. A causa della forza attrattiva il livello energetico si alza.
  15. Il momento di dipolo elettrico è p=er. Dunque il suo valor medio sarà <Ψ|p|Ψ> = e<Ψ|r|Ψ>. Consideriamo quindi l’operatore r. Partiamo osservando che le funzioni d’onda dell’atomo di idrogeno sono della forma (Ψ)n,l,m= (R)n,l,m·(Υ)l,m dove la funzione R è pari, mentre le armoniche sferiche hanno parità definita pari a (-1) alla l. Siccome P†rP=-r, avremo che se |Ψ> è pari,cioè P|Ψ>=|Ψ> allora <Ψ|r|Ψ>=<Ψ|P†rP|Ψ>=-<Ψ|r|Ψ> da cui <Ψ|r|Ψ>=0; se |Ψ> è dispari, cioè P|Ψ>=-|Ψ> avremo lo stesso perchè <Ψ|r|Ψ>=<Ψ|P†rP|Ψ>=-<Ψ|r|Ψ> da cui di nuovo ottengo che il valor medio di r, e dunque di p, è zero. In generale il valor medio di r è zero su tutti gli autostati dell’atomo di idrogeno perchè r è dispari e gli autostati hanno parità definita.
  16. L’effetto tunnel è alla base del funzionamento dei semiconduttori, in quanto l’elettrone si muove in un potenziale a bande grazie a tale effetto.
  17. La dimostrazione è semplice e si trova sul libro del Konishi nel capitolo 8.
  18. Ho stati legati solo se Vo →∞, mentre se Vo<∞ ho spettro continuo non degenere.
  19. Come nel caso precedente, se la buca non è infinitamente alta si ha probabilità di effetto tunnel diversa da zero tra la regione della buca e la zona di destra, dunque possiamo immaginare che la particella rimanga per un pò nella zona limitata ma poi si sposti nella zona a destra. la particella si trova dunque in uno stato metastabile.
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