L’angolo del dilettante

limite

Un dilettante è una persona che si diletta. Si tuffa a piè pari su qualsiasi cosa ritenga stimolante ed inizia a nuotare. Su questo blog vorrei lasciare una traccia di tutti questi tuffi e nuotate.

Ad esempio: date un’occhiata all’ immagine qua sopra. E’ una incisione a colori di M.C.Escher. Si intitola limite del cerchio III ed è una tassellazione del piano iperbolico. Il primo incontro con l’opera di Escher l’ho avuto a 18 anni dalla lettura del libro “Godel Escher Bach, un’ Eterna Ghirlanda Brillante” di D. Hofstadter, ma ultimamente il mio interesse si è riacceso perchè stimolato dall’entusiasmo di alcuni studenti (insegno nelle scuole superiori) affascinati dallo strano mondo di Escher. Quello che vorrei fare è scrivere un programma in basic che permetta di trasformare un disegno (o una tassellazione) fatta sul piano euclideo nel corrispondente disegno sul piano iperbolico.

So già che è possibile trovare in rete programmi che lo fanno. So già che esistono libri in cui tutto è spiegato nel dettaglio…ma questo è l’angolo del dilettante, perciò procederò come mi gira…

In una delle prossime volte racconterò come ho realizzato un qualcosa di analogo ma con la prospettiva: gli studenti imparano le costruzioni prospettiche senza capire quello che fanno. Se però devono scrivere un programma che disegni in prospettiva per loro allora sono obbligati a capire come il tutto funzioni…e ci prendono anche gusto!

Un po’ di domande: esiste una trasformazione che associ ad ogni punto del piano euclideo un punto del piano iperbolico (e viceversa?). Perchè si chiama piano iperbolico? Chi l’ha inventato e come ha fatto? Da quali problemi è stato stimolato? Cosa c’entra con la geometria iperbolica? Che cos’è la geometria iperbolica?

Per oggi basta. Prossimamente inizierò a lasciare traccia di come un dilettante si sforzi di capire e a quali risultati possa giungere. Ma lo sapevate che in geometria iperbolica i rettangoli non esistono??? SAPEVATELO!

V.L.

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Una Risposta to “L’angolo del dilettante”

  1. paolo acquistapace Says:

    La geometria iperbolica, al pari di quella ellittica, nasce modificando il postulato delle parallele della geometria euclidea piana, secondo il quale per un punto non appartenente ad una retta data passa una e una sola retta parallela alla retta data. Perche’ si e’ fatta questa modifica? Perche’ non si riusciva ne’ a verificare sperimentalmente questo assioma, ne’ a dedurlo dagli altri quattro. Nella geometria iperbolica, per un punto non appartenente ad una retta data passano infinite rette parallele alla retta data (mentre nella geometria ellittica non vi e’ alcuna retta con tale proprieta’). Il nome “iperbolica” ed “ellittica” e’ legato al fatto che, secondo un’opportuna nozione di lunghezza, le rette della geometria iperbolica sono “infinite”, al pari delle iperboli del piano euclideo, mentre quelle della geometria ellittica sono “finite”, al pari delle ellissi del piano euclideo. Esistono almeno due modelli di geometria iperbolica piana, uno dovuto a Klein e uno a Poincare’: per entrambi il piano iperbolico e’ costituito dai punti interni ad un cerchio; per Klein le rette iperboliche sono le corde del cerchio, mentre per Poincare’ le rette iperboliche sono archi di circonferenza interni al cerchio, perpendicolari ad esso nei punti di contatto col bordo. Per rendersi conto del fatto che la lunghezza di queste “rette iperboliche” e’ infinita, bisogna immaginare di percorrerle a velocita’ sempre piu’ lenta quanto piu’ ci si avvicina al bordo del cerchio. Io mi fermo qui: ulteriori dettagli si trovano nello splendido libro “Che cos’e’ la matematica?” di R. Courant e H. Robbins, edito in italiano da Boringhieri.

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